Clasificación de las Anualidades

Anualidad

Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pagos se realizan cada año, sino que su frecuencia puede ser cualquier otra: mensual, semanal semestral o diaria, como se verá en este capítulo, pero antes, es necesario formular algunas definiciones importantes relacionadas con el tema.

Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizaban a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto.

Clasificación de las anualidades

Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:

Según las fechas inicial y terminal del plazo

Anualidad cierta: Cuando se estipulan, es decir se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y el número de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil.

Anualidad eventual o contingente: cuando no se conocen al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del Instituto Mexicano del Seguro Social. Recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud la fallecer el empleado.

Según los pagos.

Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura.

Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar el primer periodo.

De acuerdo con la primera renta

Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abonos comenzando el día de la compra.

Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después. El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora y pague después” que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono dos o más periodos después de la compra.

Según los intervalos de pago

Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversión de interés. Por ejemplo, los depósitos mensuales a una cuenta bancaria que reditúa el 11% de interés anual compuesto por meses.

Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses son diferentes a los intervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo de esta clase de anualidades.

Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracteriza porque los pagos se realizan por tiempo limitado. La beca mensual, determinada por los intereses que genera un capital donado por personas, o instituciones filantrópicas, es un claro ejemplo de estas anualidades.

Anualidad

Es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo.  Ejemplos de anualidades son abonos semanales, pago de renta mensual, préstamos, primas anuales en pólizas de seguro de vida, etc.

Fórmula para el cálculo de una anualidad

FIVPA= Factor de Interés a Valor Presente para una Anualidad

Ejemplo

Calcular la anualidad de un préstamo de 5000 al 9.75 por ciento de interés a 5 años.

FIVPA	3.815
PA	1,310.57

PROGRAMA DE SERVICIO DE LA DEUDA
Interés	0.0975	i
Capital	5000	C
años	5	n
Pagos Periodicos	1
FIVPA	3.81512193
PA	1310.5741
Años	Saldo Inicial	Pagos Anuales	Intereses	Amortización	Saldo Final
1	5,000.00	1,310.57	487.50	823.07	4,176.93
2	4,176.93	1,310.57	407.25	903.32	3,273.60
3	3,273.60	1,310.57	319.18	991.40	2,282.20
4	2,282.20	1,310.57	222.51	1,088.06	1,194.14
5	1,194.14	1,310.57	116.43	1,194.14	0.00

Tasa nominal tasa efectiva y tasa equivalente

Cuando se utiliza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación.

Tasa Nominal de Interés.- Tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación.

Tasa efectiva anual.- Si el interés se capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.

Tasas equivalentes.- Dos tasas con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes, si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Ejemplo

¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $ 1,000.00 pactado al 48% de interés anual convertible mensualmente?

i = ?                                M = 1000 (1 + .04) ¹² = $ 1,601.032

c = 1,000.00

i = 48% a c m                M = C + I

I = C i t                             I = 601.032

i = I                                   i = 601.032 = 0.601 = 60.10%

     Ct                                     1000 (1)

Se dice que dos tazas anuales de interés con diferentes períodos de conversión son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año.

Ejemplo:

Al final de un año. El monto compuesto de $100 al

1. 4% convertible trimestralmente es 100(1.01)⁴ = $104.06
2. 4.06% convertible anualmente es 100(1.0406) = $104.06

Interés Compuesto

Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).

CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta.

El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensualmente, etc.  Dicho periodo es denominado “periodo de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión.

La tasa de interés se expresa comúnmente en forma anual indicando, si es necesario, su periodo de capitalización.

25% anual capitalizable mensualmente

20% anual capitalizable semestralmente

14% anual capitalizable trimestralmente

O convertido en capital anualmente.

Los periodos en que se dan las capitalizaciones son:

Bimestral   -------  6 periodos

Semestral -------- 2 periodos

Trimestral -------  4 periodos

Mensual  --------  12 periodos

Anual     ---------  1 periodo

Si el interés se expresa sin mención alguna respecto a su capitalización, se entiende que ésta ocurre anualmente.

Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca.

 Ejemplo:

a. Hallar el interés simple sobre $1000 por tres años al 5% de interés simple. 

b. Hallar el interés compuesto sobre $1000 por tres años si el interés de 5% es convertible anualmente en capital.

a.  I= Cit = 1000(0.05)3 = $150.00

b. El capital original es $1000

El interés por un año es                                             1000(0.05)  = $50

El capital al final del primer año es                           1000 + 50 = $1050

El interés sobre el nuevo capital por un año es          1050(0.05) = $52.50

El capital al final del segundo año es                        1050 + 52.50  = 1102.50

El interés sobre el nuevo capital por un año es          1102.50(0.05)  = $55.12

El capital al final del tercer año es                            1102.50+ 55.12  = $1157.62

El interés compuesto es 1157.62 – 1000 = $157.62

EL MONTO COMPUESTO

Sea un capital C invertido a la tasa i por periodo de conversión y designemos con S al monto compuesto de C al final de n períodos de conversión.  Puesto que C produce Ci de interés durante el primer período de conversión, al final de dicho período produce a  C + Ci  = C(1 + i).  En otras palabras, el monto de un capital al final de un período de conversión se obtiene multiplicando el capital por el factor (1 + I).  En consecuencia, al final del segundo periodo de conversión el capital es C(1 + i) x (1 + i)  = C(1 + i)² ; al final del tercer período de conversión, el monto es C(1 + i)² x (1 + i)  = C(1 + i)³  y así sucesivamente. 

Por lo tanto, para calcular el monto compuesto tenemos:

M = C(1 + i)ⁿ

Ejemplo 1: veamos el ejemplo anterior:

C = 1000

i = 0.05

n = 3

M = 1000(1 + 0.05)³

M = 1000(1.57625)

M = $1157.62

Ejemplo 2:

Si se invierten $1000 durante 81/2 años al 7% convertible trimestralmente, tenemos que:

C = 1000          i = 0.07/4 = 0.0175   n = 81/2 x 4

M = 1000(1 + 0.0175)³⁴

M = $1803.72

El interés compuesto es 1802.72 - 1000 = $803.72

También se puede aplicar la siguiente fórmula de acuerdo a los periodos de capitalizaciones

M = C(1 + i/m)^nxm

Descuento Simple

DESCUENTO SIMPLE (D_c)

Descuento es la disminución que se concede a un pago o deuda por diferentes circunstancias. Entre las más frecuentes se tienen las promociones, liquidaciones, etc.

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE INTERÉS

El valor presente “C” de una cantidad “M” con vencimiento a una fecha posterior.  Puede ser interpretado como el valor descontado de “M”. A la diferencia  D_c = M – C  se le conoce como descuento simple de “M” a una tasa de interés o sea el descuento racional sobre “M”.

Ejemplo:

Determinar el valor presente, al 6% de interés simple, de $1500 con vencimiento en 9 meses.  ¿Cuál es el descuento racional?

En este caso,  M = 1500     i = 0.06    t = 9/12    de la relación M = C(1 + it), tenemos que:

C = M / (1+it)  = 1500 / (1+(0.06)(9/12))  = $1435.41  es el valor presente y

D_c = M – C  = 1500 – 1435.41  = 64.95  es el descuento racional.

Nota: Para una tasa de interés dada, a la diferencia M – C se le ha dado,  hasta ahora, dos interpretaciones:

1. Es el interés I que al sumarse a C produce S
2. Es el descuento racional D_c que al restarse de M produce C.

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE DESCUENTO / DESCUENTO BANCARIO  O COMERCIAL

La tasa de descuento se define como la razón del descuento dado en la unidad de tiempo ( en este caso un año) al capital sobre el cual está dado el descuento.  La tasa de descuento anual se expresa como un porcentaje.

El descuento simple “D_c” (conocido también como descuento bancario) sobre una cantidad “M” por “t” años a la tasa de descuento “d”, está dado por:

D_c = Mdt

También se puede definir el descuento bancario o comercial como el interés del valor nominal, y se determina mediante el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha de descuento a cierta tasa, valuada ésta sobre el valor nominal.

El valor presente del capital nominal S, estará dado por la diferencia entre eses capital menos el descuento obtenido, es decir:

                        C = M – D_c

En donde:

            D_c = Descuento bancario

            M   = Valor nominal de descuento

            d   = tasa de descuento

            t    = tiempo

            C   = Valor presente

Sustituyendo el valor de D_c tenemos:

            C = M – Mdt

Por tanto   C = M(1-dt)

Ejemplo:

Un banco otorga el 8% de descuento. Si un cliente firma un documento por $2500 a cuatro meses, ¿Qué cantidad le dará el banco?

M = 2500     d = 0.08    t = 4/12

D_c = Mdt        =  2500(0.08)(4/12)   = 66.67

D_c = 66.67

C = M – D_c       = 2500 – 66.67       =  2433.33

DESCUENTO SUCESIVOS

Una manera de calcular los descuentos efectuados sobre una cantidad es mediante el procedimiento de descuentos sucesivos, que consiste en aplicar a la cantidad original, los diferentes descuentos que se conceden, es decir:

Donde C es la cantidad original o precio de una mercancía, y t, t¹ , t²…tⁿ  los diferentes descuentos que se conceden.

Ejemplo:

A una máquina  con valor de $20000 se le aplicaron dos descuentos sucesivos de 3.5% y de 6%. ¿Cuál fue su precio final?

C = 20000      t = 3.5      t² = 6

D_c = 20000((100-3.5)/100)((100-6)/100))

D_c = 20000(0.965)(0.94)

D_c = 18,142

Por lo tanto el precio final de la máquina fue de $18,142

Desarrolle los siguientes casos:

1.      ¿Cuál es el descuento comercial de un documento de $5000 a tres meses, si el banco carga el 6% de descuento?

2.      Un banco carga el 5% de interés por adelantado.  Si el Sr. González firma un documento por $2300 a cuatro meses.  ¿Qué cantidad recibirá del banco?

3.      Determinar el valor al 15 de marzo de un documento por $3000 pagadero al 15 de abril, suponiendo una tasa de interés simple del 4%.

4.      ¿Cuál es el descuento racional de $2000 en 4 meses, al 4.5% de interés simple anual?

5.      A una mercancía con precio inicial de $25000 se le aplicaron tres descuentos sucesivos del 4%, 8% y 10%. ¿Cuál fue su valor final?

6.      Un automóvil costó 155000. Se compró en un remate con dos descuentos sucesivos del 2% y 3%.  ¿Cuál fue su valor final?

Valor Presente y Futuro

Uno de los aspectos clave en finanzas es el del valor del dinero en el tiempo, en el sentido que siempre un peso hoy vale más que un peso mañana. Para efectos de poder calcular en forma homogénea los flujos que ocurren en distinto momento en el tiempo, debemos llevar todos estos a un valor presente o a un valor futuro, por lo que:

VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA

El valor de una deuda, en una fecha anterior a la de su vencimiento, se le conoce como el valor presente de la deuda en dicha fecha.  De la relación  M = C(1+it), tenemos que:

C = M / 1 + it

Es el valor presente a la tasa de interés simple i, del monto M, con vencimiento en t años.

Al factor (1 + it) se le conoce como factor de acumulación con interés simple.

Cuando se trata del valor presente de una deuda aplicado a intereses compuestos su aplicación es la siguiente:

C= M/(1+i)ⁿ

El valor presente a la tasas i, por periodo de conversión, de un monto S con vencimiento en n periodos de conversión es la suma C tal que invertida ahora a la tasa dada de interés alcanzaría el monto S después de n periodos de conversión.

C = M(1 + i)^-n

EJEMPLO

Hallar el valor presente de $2000 pagaderos em 6 años, suponiendo um rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente.

M=2000      i= 0.025      n= 12

C=2000(1.025)^-12 = $1487.11

VALOR FUTURO DE UNA DEUDA

Es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna fecha futura al ganar intereses. Expresado de la siguiente manera:

M = C (1+it)

Esta aplicación se realiza cuando se trata de intereses simples. (1 + it) se le conoce como factor de acumulación con interés simple.

Cuando se trata del valor futuro de una deuda aplicado a intereses compuestos su aplicación es la siguiente:

M= C (1+i)ⁿ

El Monto Simple

Se define como el valor acumulado del capital. Para obtener la fórmula del monto simple es conveniente  recordar su definición, que estipula que el monto es igual a la suma  del  capital más el interés, es decir:

M = C + I

Por otra parte se tiene que  I = Cit

Al sustituir dicho valor en la fórmula anterior,        S = C + Cit

Por tanto:        M = C (1+ it)

Por medio de esta formula, se puede obtener asimismo el capital inicial, el tiempo o la tasa de interés despejando con cada caso, la incógnita correspondiente.

Así, para el capital inicial, se tiene:

C = M / 1+it

Para el tiempo:

t = (M/C)-1/ i  =  M – C / Ci

Para la tasa de interés:

i = (M/C) -1 /t  = M – C / Ct

El Interés Simple

Interés es la cantidad que se paga por hacer uso del dinero solicitado como préstamo; o bien, la cantidad que se obtiene por la inversión de algún capital.

Definición: Cuando los intereses que se pagan no se incorporan al capital para formar un nuevo capital, el interés se denomina simple.

Para resolver problemas de interés simple se definen los siguientes términos:

Capital inicial o principal.  Es la cantidad que se presta durante un tiempo determinado para producir un interés, se denota por “P” o “C” dependiendo del texto que se utilice.

Interés. Es la cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno y se denota por “I”.

I= M - C

Tasa de interés. Es la razón del interés devengado respecto al capital inicial; es decir, es la cantidad que al multiplicarse por el capital inicial da como resultado el interés devengado en un periodo de tiempo determinado, se denota por “i”.

Monto simple o valor acumulado de “P” o “C”. Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial el interés obtenido en un periodo de tiempo estipulado, se denota por “M”

M = C + I

Tiempo. Es el número de periodos (años, meses, días, etc.), que permanece prestado o invertido el capital, se denota por “t”.

INTERÉS SIMPLE. Cuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como, interés simple. El interés simple sobre el capital C, por t años a la tasa i, está dado por la expresión

FÓRMULA DEL INTERÉS SIMPLE

I = Cit

C = I / it     Para calcular el capital inicial

i = I / Ct     Para obtener la tasa de interés

t = I / Ci     Para obtener el tiempo

Ejemplo 1.  B obtiene de L un préstamo de $500 y al final de un año le paga $525.  En este caso:

C = 500

M = 525

I = 525 – 500 = 25

La tasa de interés devengada o cargada es la razón del interés devengado al capital, en la unidad de tiempo. A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es de un año. La tasa anual de interés, representada por i, está dada como un porcentaje (por ejemplo, 5%), o como su equivalente en forma decimal (0,05). En los cálculos, se utiliza la fracción decimal.

Ejemplo 2.

En el ejemplo 1, i = I / P = 25/500 =  0,05; es decir que L carga intereses a la tasa de 5%.,

INTERÉS SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO. El interés, simple exacto se calcula sobre la base del año de 365 días (366 en años bisiestos).  El interés simple ordinario se calcula con base en un año de 360 días. El uso del año de 360 días simplifica algunos cálculos, sin embargo aumenta el interés cobrado por el acreedor.

Ejemplo

            Determinar el interés, exacto y ordinario sobre $2000, al 5-%, durante 50 días.

            En este caso C = 2000 e  i = 0,05.

Interés simple exacto.

Utilizando el año de 365 días tenemos que t            = 50/365 = 10/73   e  I = Cil = 2000(0,05)(10/73) =             $13,70

Interés simple ordinario.

Utilizando un año de 360 días, tenemos que t = 50/360 = 5/36   e  I = 2000(0,05)(5/36) = $13,89